Question

18．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，3），點B坐標(biāo)是（3，0），設(shè)拋物線的頂點為點D．
（1）求此拋物線的解析式與對稱軸；
（2）作直線BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為直線BC上方的二次函數(shù)上一個動點（且點P與點B、C不重合），過點P作PF∥DE交直線BC于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PDEF為平行四邊形？
②設(shè)△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求出此時P點坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點C（0，3）、B（3，0）代入拋物線的解析式可求得得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，從而求得拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，由x=-$\frac{2a}$可求得拋物線的對稱軸方程為x=1；
（2）①如圖1所示：先求得點D的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x+3，將x=1代入y=-x+3得y=2，從而得到ED=2，由點P的橫坐標(biāo)為m，可求得y_p=-m²+2m+3，y_F=-m+3．故此PF=y_p-y_F=-m²+3m．當(dāng)PF=DE=2時四邊形PDEF為平行四邊形，從而可求得m=2；
②由${S}_{△PCB}=\frac{1}{2}OB•PF$可知S=-$\frac{3}{2}（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$，故此可知當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，最大值為$\frac{27}{8}$．將x=$\frac{3}{2}$代入拋物線的解析式得：y=$\frac{15}{4}$．故此可知點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

解答 解：（1）將點C（0，3）、B（3，0）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
∵x=-$\frac{2a}$，
∴x=-$\frac{2}{-1×2}$=1．
∴拋物線的對稱軸為x=1．
（2）①如圖1所示：

∵將x=1代入得拋物線的解析式得y=4．
∴點D的坐標(biāo)為（1，4）．
設(shè)直線BC的解析式為ykx+b，將點B、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
將x=1代入y=-x+3得：y=-1+3=2．
∴點E的坐標(biāo)為（1，2）．
∴DE=2．
∵點P的橫坐標(biāo)為m，
∴y_p=-m²+2m+3，y_F=-m+3．
∴PF=y_p-y_F=-m²+3m．
∵四邊形PDEF為平行四邊形，
∴PF=DE=2，即-m²+3m=2．
解得：m=2或m=1（舍去）．
∴當(dāng)m=2時，四邊形PDEF為平行四邊形．
②存在：
理由：如圖2所示：

${S}_{△PCB}=\frac{1}{2}OB•PF$=$\frac{1}{2}×3×（-{m}^{2}+3m）$=-$\frac{3}{2}$（m²-3m）=-$\frac{3}{2}（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$．
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，△PBC的面積由最大值，最大值為$\frac{27}{8}$．
∵將x=$\frac{3}{2}$代入拋物線的解析式得：y=$\frac{15}{4}$．
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題主要考查的二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題需要同學(xué)熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積公式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，明確PF的長等于點P與點F的縱坐標(biāo)之差是解題的關(guān)鍵．