Question

5．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2．|$\overrightarrow{AC}$|=1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

（1）求證：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)D且垂直于BC，E為l上任意一點(diǎn)，求證：$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）為常數(shù)，并求出該常數(shù)；
（3）如圖2，若cosA=$\frac{3}{4}$，F(xiàn)為線(xiàn)段AD上的任意一點(diǎn)，求$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）的范圍．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AD到A₁使得AD=DA₁，連接CA₁，A₁B，證明四邊形ACA₁B是平行四邊形，即可證明：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）運(yùn)用向量加法三角形法則，以及向量垂直的性質(zhì)：數(shù)量積為0，斜率的平方即為模的平方，即可得到所求常數(shù)；
（3）設(shè)|$\overrightarrow{AF}$|=x，則|$\overrightarrow{FD}$|=$\sqrt{2}$-x（0≤x≤$\sqrt{2}$），運(yùn)用向量共線(xiàn)和向量數(shù)量積的定義，可得$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x），利用基本不等式，可得所求的范圍．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)AD到A₁使得AD=DA₁，連接CA₁，A₁B，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴四邊形ACA₁B是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）證明：∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$，
∵DE⊥BC，∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²）=$\frac{1}{2}$×（4-1）=$\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{3}{2}$；
（3）解：△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，cosA=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），

∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4+2×2×1×\frac{3}{4}+1}$=$\sqrt{2}$，
同理$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=2$\overrightarrow{FD}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=$\overrightarrow{AF}$•2$\overrightarrow{FD}$=2|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{FD}$|，
設(shè)|$\overrightarrow{AF}$|=x，則|$\overrightarrow{FD}$|=$\sqrt{2}$-x（0≤x≤$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x）≤2（$\frac{x+\sqrt{2}-x}{2}$）²=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）∈（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量知識(shí)的運(yùn)用，考查向量數(shù)量積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．