Question

20．已知點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=$\frac{{e}^{2}}{x}$上，且a＞1，b＞1，則a^lnb的最大值為e．

Answer 1

分析 點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=$\frac{{e}^{2}}{x}$上，且a＞1，b＞1，可得$b=\frac{{e}^{2}}{a}$，兩邊取對(duì)數(shù)可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a^lnb，可得lnt=lna•lnb，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=$\frac{{e}^{2}}{x}$上，且a＞1，b＞1，∴$b=\frac{{e}^{2}}{a}$，可得lnb=2-lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．
令t=a^lnb，∴l(xiāng)nt=lna•lnb≤$（\frac{lna+lnb}{2}）^{2}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)lna=lnb=1，即a=b=e時(shí)取等號(hào)．
∴t≤e．
故答案為：e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．