2．應用問題的“考試要求”是考查考生的應用意識和運用數(shù)學知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：

（1）、要求考生關心國家大事，了解信息社會，講究聯(lián)系實際，重視數(shù)學在生產、生活及科學中的應用，明確“數(shù)學有用，要用數(shù)學”，并積累處理實際問題的經驗.

（2）、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉化為數(shù)學語言，以數(shù)學語言為工具進行數(shù)學思維與交流.

（3）、考查建立數(shù)學模型的初步能力，并能運用“考試大綱”所規(guī)定的數(shù)學知識和方法來求解.

3．求解應用題的一般步驟是（四步法）：

（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學語言，找出主要關系；

（2）、建模：把主要關系近似化、形式化，抽象成數(shù)學問題；

（3）、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解；

（4）、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節(jié)，最后將結果應用于現(xiàn)實，作出解釋或驗證.

4．在近幾年高考中，經常涉及的數(shù)學模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等.

Ⅰ．函數(shù)模型  函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的一部分內容，現(xiàn)實世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常常可歸結為函數(shù)的最值問題，通過建立相應的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法去解決.
    ⑴ 根據題意，熟練地建立函數(shù)模型；

⑵ 運用函數(shù)性質、不等式等知識處理所得的函數(shù)模型.

Ⅱ．幾何模型  諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質，或用方程、不等式或用三角函數(shù)知識來求解.
     Ⅲ．數(shù)列模型  在經濟活動中，諸如增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年（月）份有關的實際問題，大多可歸結為數(shù)列問題，即通過建立相應的數(shù)列模型來解決.在解應用題時，是否是數(shù)列問題一是看自變量是否與正整數(shù)有關；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律.

例1．（1996年全國高考題）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產比現(xiàn)有增加22％，人均糧食產量比現(xiàn)在提高10％，如果人口年增長率為1％，那么耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

（糧食單產＝  ；    人均糧食產量＝）

分析：此題以關系國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數(shù)據，要求考生從兩條線索抽象數(shù)列模型，然后進行比較與決策.

解：1.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產、人均糧食占有量、總人口數(shù)及三個百分率，其中人均糧食占有量P＝，  主要關系是：P≥P .

2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產為a(1＋0.22)，人口數(shù)為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.

∴ ≥（1＋0.1） 

即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）

3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）

∵  （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046

∴  x≤10－995.9≈4（公頃）

4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）

另解：1.讀題：糧食總產量＝單產×耕地面積；  糧食總占有量＝人均占有量×總人口數(shù)；

而主要關系是：糧食總產量≥糧食總占有量

2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現(xiàn)在糧食單產為a噸／公頃，現(xiàn)在人口數(shù)為m，則現(xiàn)在占有量為，10年后糧食單產為a(1＋0.22)，人口數(shù)為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.

∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)

3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）

∵  （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046

∴  x≤10－995.9≈4（公頃）

4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）

說明：本題主要是抓住各量之間的關系，注重3個百分率.其中耕地面積為等差數(shù)列，總人口數(shù)為等比數(shù)列模型，問題用不等式模型求解.本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數(shù)函數(shù)、不等式、增長率、二項式定理應用于近似計算等知識熟練.此種解法可以解決有關統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問題.此種題型屬于不等式模型，也可以把它作為數(shù)列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型后解出不等式.

在解答應用問題時，我們強調“評價”這一步不可少！它是解題者的自我調節(jié)，比如本題求解過程中若令1.01≈1，算得結果為x≤98公頃，自然會問：耕地減少這么多，符合國家保持耕地的政策嗎？于是進行調控，檢查發(fā)現(xiàn)是錯在1.01的近似計算上.

    A

  M  C    D        B

例2．（1991年上海高考題）已知某市1990年底人口為100萬，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長率為2％，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2000年底該市人均住房面積（精確到0.01）？

分析：城市每年人口數(shù)成等比數(shù)列，每年住房總面積成等比數(shù)列，分別寫出2000年后的人口數(shù)、住房總面積，從而計算人均住房面積.

解：1.讀題：主要關系：人均住房面積＝

2.建模：2000年底人均住房面積為

3.求解：化簡上式＝，

∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219

∴ 人均住房面積為≈4.92

4.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m.

說明：一般地，涉及到利率、產量、降價、繁殖等與增長率有關的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出數(shù)據成等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后用兩個基礎數(shù)列的知識進行解答.此種題型屬于應用問題中的數(shù)列模型.

例3．如圖，一載著重危病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA行駛，其中

在距離O地5a（a為正數(shù)）公里北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學專家，其中

   （1）求S關于p的函數(shù)關系；

   （2）當p為何值時，搶救最及時.

解：（1）以O為原點，正北方向為y軸建立直角坐標系，

則 

設N（x₀，y₀），

又B（p，0），∴直線BC的方程為：

 由得C的縱坐標

，∴

（2）由（1）得 ∴，∴當且僅當時，上式取等號，∴當公里時，搶救最及時.

例4．（1997年全國高考題）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米／時）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

 ① 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；

 ② 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？    

分析：幾個變量（運輸成本、速度、固定部分）有相互的關聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關系，并求函數(shù)的最小值.

解：（讀題）由主要關系：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，

（建模）有y＝(a＋bv)

（解題）所以全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數(shù)關系式是：

y＝S(＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .

整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函數(shù)y＝x＋ (k>0)的單調性而得：

當<c時，則v＝時，y取最小值；

當≥c時，則v＝c時，y取最小值.

綜上所述，為使全程成本y最小，當<c時，行駛速度應為v＝；當≥c時，行駛速度應為v＝c.

說明：1.對于實際應用問題，可以通過建立目標函數(shù)，然后運用解（證）不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.

2.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及函數(shù)（a＞0，b＞0）的性質要熟練掌握.

3.要能熟練地處理分段函數(shù)問題.

例5．（2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(理工農醫(yī)類20)）

    在某海濱城市附近海面有一臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動. 臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？

解：如圖建立坐標系以O為原點，正東方向為x軸正向.

    在時刻：（1）臺風中心P（）的坐標為

此時臺風侵襲的區(qū)域是

其中若在t時刻城市O受到臺風

的侵襲，則有

即

答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.

例6．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.

甲

乙

丙

維生素A（單位/千克）

600

700

400

維生素B（單位/千克）

800

400

500

成本（元/千克）

11

9

4

       （1）用x，y表示混合食物成本c元；

       （2）確定x，y，z的值，使成本最低.

   解:（1）依題意得   .

（2）由 ， 得

       ，

當且僅當時等號成立.， 

 ∴當x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低為850元.

說明：線性規(guī)劃是高中數(shù)學的新增內容， 涉及此類問題的求解還可利用圖解法.

例7．（2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷文史類19））

   （Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，

 點P應位于何處？

   （Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，

         點P應位于何處？

分析：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，

考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.

    （Ⅰ）解：設P的坐標為（0，），則P至三

鎮(zhèn)距離的平方和為

所以，當時，函數(shù)取得最小值.  答:點P的坐標是

（Ⅱ）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為

    由解得記于是

      因為在[上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標是

  解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為

    函數(shù)的圖象如圖，因此，

當時，函數(shù)取得最小值.答:點P的坐標是

    解法三：因為在△ABC中，AB=AC=13，且，

           且AM=BM=CM. 當P在射線MA上，記P為P₁；當P在射線

MA的反向延長線上，記P為P₂，

這時P到A、B、C三點的最遠距離為

P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以點P與外心M

重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小.

答:點P的坐標是

例7．（2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷理工農醫(yī)類20））

A、B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A₁，A₂，A₃，B

隊隊員是B₁，B₂，B₃，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：

對陣隊員

A隊隊員勝的概率

A隊隊員負的概率

A₁對B₁

A₂對B₂

A₃對B₃

現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η

   （1）求ξ、η的概率分布；

   （2）求Eξ，Eη.

分析：本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.

解：（1）ξ、η的可能取值分別為3，2，1，0.

，

根據題意知ξ+η=3，所以  P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=

P(η=2)=P(ξ=1)= ，  P(η=3)=P(ξ=0)= .

   （2）； 因為ξ+η=3，所以 

例8．（2004年湖北卷）某突發(fā)事件，在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一

旦發(fā)生，將造成400萬元的損失. 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用. 單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85. 若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少.（總費用=采取預防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）

解：①不采取預防措施時，總費用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；

       ②若單獨采取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為

1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）

③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85=0.15，

損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；

④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概

率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）.

綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，可使總費

用最少.

例9．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛?

解：設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則

            ，

所以，當時，，兩式相減得：

（1）顯然，若，則，即，此時

（2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，.

（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，，此時，

（ii）當時，，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，，

由，得

，

要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，

即      

對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 ， 得

，

上式恒成立的條件為：，由于關于的函數(shù)單調遞減，所以，.