Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左右焦點，G是C上一點，且滿足$\frac{|G{F}_{1}|}{|G{F}_{2}|}$=9 則C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）
• B． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． （1，$\frac{5}{4}$）
• D． （1，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 設G點的橫坐標為x₀，注意到x₀≥a．由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，利用|GF₁|-9|GF₂|=0，可得a+ex₀=9（ex₀-a），x₀=$\frac{5a}{4e}$≥a，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：由$\frac{|G{F}_{1}|}{|G{F}_{2}|}$=9可得G在右支上，
設G點的橫坐標為x₀，注意到x₀≥a．
由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，
∵$\frac{|G{F}_{1}|}{|G{F}_{2}|}$=9，
∴a+ex₀=9（ex₀-a），
∴x₀=$\frac{5a}{4e}$≥a，
∴1＜e≤$\frac{5}{4}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，運用雙曲線第二定義是解決問題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．