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【題目】問題背景:“半角問題”:
(1)如圖:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關系.
小明同學探究此“半角問題”的方法是:延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結論,他的結論應是 ;(直接寫結論,不需證明)
探索延伸:當聰明的你遇到下面的問題該如何解決呢?
(2)若將(1)中“∠BAD=120°,∠EAF=60°”換為∠EAF=∠BAD.其它條件不變。如圖1,試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關系,并證明.
(3)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點,且∠EAF=∠BAD,請直接寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關系.(不需要證明)
(4)如圖3,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分別是邊BC、CD延長線上的點,且∠EAF=∠BAD,試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關系,并證明.
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【題目】如圖,∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線交與點D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.若AB=10,AC=8.
(1)求證:CF=BE;
(2) 求BE長.
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【題目】在△ABC中,AB邊的垂直平分線l1交BC于D,AC邊的垂直平分線l2交BC于E,l1與l2相交于點O.△ADE的周長為6cm.
(1)求BC的長;
(2)分別連結OA、OB、OC,若△OBC的周長為16cm,求OA的長.
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【題目】如圖1是一個長為2a,寬為2b的 長方形,沿圖中虛線剪開分成四塊小長方形,然后按如圖2的形狀拼成一個正方形。
(1)圖2的陰影部分的正方形的邊長是 .
(2)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積.
(方法1)S陰影= ;
(方法2)S陰影= ;
(3)觀察如圖2,寫出(a+b)2、(a-b)2,ab三個代數(shù)式之間的等量關系.
(4)根據(jù)(3)題中的等量關系,解決問題:若x+y=10,xy=16,求x-y的值。
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【題目】如圖①,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.
【試題再現(xiàn)】如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角頂點C在直線DE上,分別過點A,B作AD⊥DE于點D,BE⊥DE于點E.求證:△ADC∽△CEB.
【問題探究】在圖①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由.
【深入探究】如圖③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于點P,過點P作AB⊥AD于點A,交BC于點B.
(1)請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
(2)若AD=3,BC=5,試求AB的長.
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【題目】兩個大小不同的等腰直角三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,圖中AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°,B,C,E在同一條直線上,連結DC.
(1)圖2中的全等三角形是_______________,并給予證明(說明:結論中不得含有未標識的字母);
(2)指出線段DC和線段BE的關系,并說明理由.
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【題目】某中學為打造書香校園,計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書,調查發(fā)現(xiàn),若購買甲種書柜3個、乙種書柜2個,共需資金1020元;若購買甲種書柜4個,乙種書柜3個,共需資金1440元.
(1)甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元?
(2)若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個,其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量,學校至多能夠提供資金4320元,請設計幾種購買方案供這個學校選擇.
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【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于點A(,
),B(4,m),點P是線段AB上異于A,B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
(1)證明AE=AF;
(2)若△ABC面積是36cm2,AB=10cm,AC=8cm,求DE的長.
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【題目】如圖,B、C、E三點在同一條直線上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.
(1)求證:BC=DE
(2)若∠A=40°,求∠BCD的度數(shù).
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