2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分類匯編
第二章《函數(shù)》
一、選擇題（共40題）
1．（安徽卷）函數(shù)
的反函數(shù)是
A．
B．
C．
D．
解：有關(guān)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法，選C。也可用特殊點(diǎn)排除法，原函數(shù)上有（1，2）和（-1，-1）兩點(diǎn)，反函數(shù)上有（2，1）和（-1，-1），檢驗(yàn)知C。
2．（安徽卷）函數(shù)
的反函數(shù)是（ �。�
A．
B．
C．
D．
解：由
得：
，所以為所求，故選D。
3．（北京卷）已知
是
上的減函數(shù)，那么
的取值范圍是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：依題意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<
，又當(dāng)x<1時(shí)，（3a－1）x＋4a>7a－1，當(dāng)x>1時(shí)，logax<0，所以7a－1³0解得x³
故選C
4．（北京卷）已知
是（-
，+）上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是
（A）(1，+) （B）(-,3) (C)[
，3) (D)(1,3)
解：依題意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又當(dāng)x<1時(shí)，（3－a）x－4a<3－5a，當(dāng)x³1時(shí)，logax³0，所以3－5a£0解得a³，所以1<a<3故選D
5．（北京卷）在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間
上的任意
，
恒成立”的只有
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
|
>1
<1\ 
|<|x1－x2|故選A
6．（福建卷）函數(shù)y=┯
(x?1)的反函數(shù)是
A.y=
(x>0) B.y= (x<0) C.y=
(x>0) D. .y= (x<0)
解：對(duì)于x>1，函數(shù)
>0，解得
，
=
，∴ 原函數(shù)的反函數(shù)是
，選A.
7．（福建卷）函數(shù)
的反函數(shù)是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：由函數(shù)解得
(y≠1)，∴ 原函數(shù)的反函數(shù)是.
8．（福建卷）已知
是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)
時(shí)，
設(shè)
則
（A）
（B）
�。–）
�。―）
解：已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)
，
，
<0，∴，選D.
9．（廣東卷）函數(shù)
的定義域是
A.
B. 
C.
D. 
解：由
，故選B.
10．（廣東卷）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A.
B. 
C. 
D. 
解：B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù),是減函數(shù);故選A.
11．（廣東卷）函數(shù)
的反函數(shù)
的圖像與
軸交于點(diǎn)
（如圖2所示），則方程
在
上的根是
A.4 B
解：
的根是
2，故選C
12．（湖北卷）設(shè)
，則
的定義域?yàn)?/p>
A．
B．
C．
D．
解：f（x）的定義域是（－2，2），故應(yīng)有－2<
<2且－2<
<2解得－4<x<－1或1<x<4
故選B
13．（湖北卷）關(guān)于
的方程
，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)
，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
其中假命題的個(gè)數(shù)是
A．0 B．
解：關(guān)于x的方程
可化為
…（1）
或
（－1<x<1）…………（2）
①
當(dāng)k＝－2時(shí)，方程（1）的解為±
，方程（2）無(wú)解，原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
②
當(dāng)k＝
時(shí)，方程（1）有兩個(gè)不同的實(shí)根±
，方程（2）有兩個(gè)不同的實(shí)根±
，即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
③
當(dāng)k＝0時(shí)，方程（1）的解為－1，＋1，±
，方程（2）的解為x＝0，原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根
④
當(dāng)k＝
時(shí)，方程（1）的解為±
，±
，方程（2）的解為±
，±
，即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根
選A
14．（湖南卷）函數(shù)
的定義域是( )
A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞)
解：函數(shù)
的定義域是
，解得x≥4，選D.
15．（湖南卷）函數(shù)
的定義域是
A．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)
解：函數(shù)的定義域是
，解得x≥1，選D.
16．（江西卷）若不等式x2＋ax＋1³0對(duì)于一切xÎ（0，
〕成立，則a的取值范圍是（ ）
A．0
B. ?
D.-3
解：設(shè)f（x）＝x2＋ax＋1，則對(duì)稱軸為x＝
若³，即a£－1時(shí)，則f（x）在〔0，〕上是減函數(shù)，應(yīng)有f（）³0Þ
－£x£－1
若£0，即a³0時(shí)，則f（x）在〔0，〕上是增函數(shù)，應(yīng)有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，則應(yīng)有f（）＝
恒成立，故－1£a£0
綜上，有－£a故選C
17．（江西卷）某地一年的氣溫Q（t）（單位：ºc）與時(shí)間t（月份）之間的關(guān)系如圖（1）示，已知該年的平均氣溫為10ºc，令G（t）表示時(shí)間段〔0,t〕的平均氣溫，G（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)該是（ ）
|
18．（江西卷）某地一天內(nèi)的氣溫
（單位：℃）與時(shí)刻
（單位：時(shí)）之間的關(guān)系如圖（1）所示，令
表示時(shí)間段
內(nèi)的溫差（即時(shí)間段
是奇函數(shù) (B)
是奇函數(shù) 
是偶函數(shù) (D) 
是偶函數(shù)
則
，
，
此時(shí)
與
的關(guān)系不能確定，即函數(shù)
，
，即函數(shù)
為奇函數(shù)，D中
，
，即函數(shù)
的曲線關(guān)于直線
對(duì)稱的曲線的方程為
(B) 
(C) 
(D) 
，
，即：
，所以
，故選擇答案A。
的圖象與函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
B．
D．
是
，∴ 
，選D.
所以反函數(shù)為
故選B
選D
與
搞混,其實(shí)
的圖像與函數(shù)
的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則
（B）
（C）
�。―）
，得 
表示數(shù)軸上一點(diǎn)到1,2,3…19的距離之和,可知x在1―19最中間時(shí)f(x)取最小值.即x=10時(shí)f(x)有最小值90,故選C
，它的圖象是函數(shù)
向右移動(dòng)1個(gè)單位得到，選A
，∴
，
或
(舍)，b=1，∴a+b=4，選C．
1，所以原函數(shù)的值域是(0，1]
，選B.
，∴
，a=3，則a+b等于4，選C.
的反函數(shù)是
（B）
（D）
(y∈R)，所以原函數(shù)的反函數(shù)是
的圖象與函數(shù)
（
且
）的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，記
．若
在區(qū)間
上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)
B．
C．
D．
，記
=
．當(dāng)a>1時(shí)，若
，t∈[
, 
]，要求對(duì)稱軸
，矛盾；當(dāng)0<a<1時(shí)，若
，解得
,所以實(shí)數(shù)
，
，
，則（ �。�
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
則
的反函數(shù)是（ �。�
Ｂ．
Ｄ．
(y>2)，所以原函數(shù)的反函數(shù)是
在區(qū)間
上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
且
可以看作是關(guān)于
的二次函數(shù)，若a>1，則
是增函數(shù)，原函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù)，則要求對(duì)稱軸
≤0，矛盾；若0<a<1，則
(0<t<1)時(shí)，
在t∈(0，1)上為減函數(shù)，即對(duì)稱軸
，∴實(shí)數(shù)
，選B.
，則
知函數(shù)
為減函數(shù)，由
得
，故選擇A。
R,記max{a,b}=
，函數(shù)f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(x
(D)3
據(jù)此求得最小值為
39.(重慶卷)如圖所示，單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是 
的長(zhǎng)為
，且
的圖像過(guò)點(diǎn)
，則
（C）
（D）
對(duì)于任意實(shí)數(shù)
，若
則
_______________。
，所以
，則
。
的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2），那么a的值等于
. 
則
__________
.
的解為 ．
，即
解得
（負(fù)值舍去），所以
。
，若
________。
若
，即
，a=
.
（
，代入得：
；
的解是_______.
，解得x=5.
解析：由
，故
，其圖象如右，
。
，函數(shù)
有最大值，則不等式
的解集為
。
有最小值，∴ 0<a<1， 則不等式
，解得2<x<3，所以不等式的解集為
.
有最小值，則不等式
的解集為
。
的解
的反函數(shù)
.
，從而 
，x∈[5,8]
. 從而應(yīng)填 
.
是定義在
上的偶函數(shù). 當(dāng)
時(shí)，
，則 當(dāng)
時(shí)，
.
是定義在
上且滿足如下條件的函數(shù)
組成的集合：①對(duì)任意的
，都有
；②存在常數(shù)
，使得對(duì)任意的
，都有
.
，證明：
，使得
，那么這樣的
是唯一的；
，令
，
，證明：給定正整數(shù)
，對(duì)任意的正整數(shù)
，成立不等式
,
,
,
,所以
，
，
，
，所以0<
,令
=
，
，
使得
,
則
，得
，所以
，矛盾，故結(jié)論成立。
，所以
+…
的最大值為g(a)。
，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)
的所有實(shí)數(shù)a
t≥0
①
由①得
)+t=
的最大值。
是拋物線
的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論。
的圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一段，
，即
則
，即
則
，即
則
時(shí)
，此時(shí)
，
，與a<-2矛盾。
時(shí)，此時(shí)
解得， 
與
矛盾。
時(shí)，此時(shí)
，此時(shí)
，
矛盾。
，此時(shí)g(a)=a+2, 
解得
矛盾。
，此時(shí)g(a)=a+2, 
，由a>0得a=1.
的所有實(shí)數(shù)a為
,f(0)＞0，f(1)＞0，求證：
＜-1；
，所以
.
，消去
，得
；
，得
，
.
.
的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
，
，得
.
而
在區(qū)間
與
內(nèi)分別有一實(shí)根。
，求
;又若
，求
;
，使得
，求函數(shù)
59.(重慶卷)已知定義域?yàn)?sub>
的函數(shù)
是奇函數(shù)。
的值；
，不等式
恒成立，求
=0，即
，易知
，因
．即對(duì)一切
，
．又由題設(shè)條件得： 
，
，
.
上畫(huà)出函數(shù)
. 試判斷集合
之間的關(guān)系，并給出證明；
時(shí)，求證：在區(qū)間
上，
的圖像位于函數(shù)
解：（1）
的解分別是
和
，由于
和
上單調(diào)遞減，在
和
上單調(diào)遞增，因此
. 
. 
時(shí)，
.
， 
. 又
，
，即
時(shí)，取
，
.
，
. 
，即
時(shí)，取
， 
.
，
的圖像位于函數(shù)
得
，
，解得 
或
， 
的圖像與函數(shù)
； 當(dāng)
的圖像與函數(shù)
，當(dāng)