例1、            不等式 

錯(cuò)誤解法 

錯(cuò)誤分析  當(dāng)時(shí)，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)（因 ），說明解法錯(cuò)誤。原因是沒有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

正確解法  

例2、            求過點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法  設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為

，消去得：

整理得  直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

解得所求直線為

錯(cuò)誤分析  此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法  當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切。

當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為則

，    令解得所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

(2)      判斷的訓(xùn)練

造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例3、            實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法  方程至少有一個(gè)實(shí)根，

或

錯(cuò)誤分析  實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。

正確解法  設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則

由于都是實(shí)數(shù)，

解得 

例4  已知雙曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn),離心率,求雙曲線方程。

錯(cuò)解1 

故所求的雙曲線方程為

錯(cuò)解2  由焦點(diǎn)知

故所求的雙曲線方程為

錯(cuò)解分析  這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。

正解1  設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn)，離心率，由雙曲線的定義知

整理得                      

正解2  依題意，設(shè)雙曲線的中心為

則       解得 

所以 

故所求雙曲線方程為 

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用

我們知道：

如果成立，那么成立，即，則稱是的充分條件。

如果成立，那么成立，即，則稱是的必要條件。

如果，則稱是的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。

例5  解不等式

錯(cuò)誤解法  要使原不等式成立，只需

    解得

錯(cuò)誤分析  不等式成立的充分必要條件是：或

原不等式的解法只考慮了一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。

正確解法  要使原不等式成立，則

或

，或

原不等式的解集為

例6（軌跡問題）求與軸相切于右側(cè)，并與

⊙也相切的圓的圓心

的軌跡方程。

錯(cuò)誤解法  如圖3－2－1所示，

已知⊙C的方程為

設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙P與軸相切于M點(diǎn)，

與⊙C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

，即

化簡(jiǎn)得     

錯(cuò)誤分析  本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是

。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

例7  設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.

錯(cuò)誤解法 

錯(cuò)誤分析  在錯(cuò)解中，由

時(shí)，應(yīng)有在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。

正確解法  若，則有

但，即得與題設(shè)矛盾，故.

又依題意 

可得        

即

因?yàn)?sub>，所以所以

所以     

說明  此題為1996年全國(guó)高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進(jìn)行推理，這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。

例8  （如圖3－2－2），具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法  依題意，可知曲線是拋物線，

在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

因?yàn)槎�面�?sub>等于，

且所以

設(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，

從而

所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是

錯(cuò)誤分析  上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為

。

正確解法  在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)

（如圖3－2－3）過點(diǎn)作，垂足為，

過作軸，垂足為連接，

則軸。所以是二面角

的平面角，依題意，.

在

又知軸（或與重合），

軸（或與重合），設(shè)，

則   

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以

即所求射影的方程為  

(3)   推理的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

例9  設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程。

錯(cuò)誤解法  依題意可設(shè)橢圓方程為

則    ，

所以    ，即 

設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，

則   

所以當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值。

所以    ，由此解得：

于是所求橢圓的方程為

錯(cuò)解分析  盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)時(shí)，有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒有考慮到的取值范圍。事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即：

若，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值。

于是從而解得

所以必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值，

所以，解得

于是所求橢圓的方程為

例10  求的最小值

錯(cuò)解1 

錯(cuò)解2 

錯(cuò)誤分析  在解法1中，的充要條件是

即這是自相矛盾的。

在解法2中，的充要條件是

這是不可能的。

正確解法1

其中，當(dāng)

正 確 解 法2 取正常數(shù)，易得

其中“”取“＝”的充要條件是

因此，當(dāng)